Saturday, October 12, 2013

Αποδόσεις, Γκανιότα και στατιστικά του ΚΙΝΟ

Συνεχώς γίνεται ντόρος για το πόσο στημένο είναι το ΚΙΝΟ, πόσο μαφία είναι, πώς το προγραμματίζουν να μην δίνει κέρδη, πώς οι μόνες περιπτώσεις που δίνει κέρδη είναι στις στιγμές που αναγκάζεται για να μην δόσει περισσότερα με άλλους αριθμούς και διάφορες άλλες μπούρδες. Στατιστικά το ΚΙΝΟ δίνει πίσω στους πελάτες 70% του ποσού που δίνουν. Στο σύνολο όμως. δηλαδή ένας παίκτης μπορεί να χάσει 1000 και άλλος να κερδίσει 700. Δεν σημαίνει ότι τα δίνει πίσω στον ίδιο. Αυτό είναι απλά αποδεδειγμένο από τα ταμεία του κάθε πρακτορείου. Αλλά όσοι δεν πιστεύετε αυτό σήμερα θα ασχοληθούμε με την μαθηματική απόδειξη αυτού καθώς και με περισσότερες χρήσιμες λεπτομέρειες για τον παίκτη.

Κατ'αρχάς ας δούμε τι είναι το ΚΙΝΟ.

•Υπαρχουν 80 αριθμοι απο το 1 εως το 80 και κληρωνονται 20 τυχαιοι.

•Καθε παιχτης πριν την κληρωση εχει δικαιωμα επιλογης απο 1 εως 12 αριθμους σε ενα δελτιο.

•Η επιτυχια ερχεται οταν δεδομενης της επιλογης Χ αριθμων του παιχτη, υπαρχει συμπτωση Υ(Υ≤Χ) αριθμων απο τους επιλεχθεντες Χ, με τους κληρωθεντες αριθμους. Τοτε τα κερδη υπολογιζονται απο τον πολλαπλασιασμο του ποσου που καταβαλλαμε για την καταθεση του δελτιου επι ενα συντελεστη ο οποιος προερχεται και καθοριζεται πληρως απο τους αριθμους που επιλεχθηκαν και τους αριθμους που συμφωνουν εξ αυτων με την νικητρια στηλη. Οι συντελεστες ειναι:












Από πάνω είναι πόσοι αριθμοί παίξαμε και στο πλάι πόσους βρήκαμε. Με λίγα λόγια αν παίξουμε 5 αριθμούς και βρούμε τους 3 τότε το πόσο που παίξαμε πολλαπλασιάζεται επί 2. Αν παίξαμε 0.5 ευρώ (το ελάχιστο δυνατό στο ΚΙΝΟ) τότε αυτομάτως κερδίζουμε 1 ευρώ. Αντιστοίχως για όλους τους υπόλοιπους συνδιασμούς.

•Τωρα θα δοθουν οι πιθανοτητες για επιτυχια καθε κατηγοριας.
Εστω οτι παιζουμε Χ αριθμους και αναζητουμε Υ αριθμους.

(Το μαθηματικο υποβαθρο για τους παρακατω υπολογισμους ειναι η γνωση πολλαπλασιασμου και διαιρεσης ΜΟΝΟ! Η γνωση προσθεσης και αφαιρεσης εξυπακουεται. Οριζουμε λοιπον: Α! = Α·(Α-1)·...·2·1 π.χ 5! = 5·4·3·2·1 = 120
(Α,Β) = Α!/(Β!·(Α-Β)!) , π.χ (5,3) = 5!/(3!2!) = 10)

•Η πιθανοτητα λοιπον επιλεγοντας Χ αριθμους απο τους 80, να πετυχουμε Υ αριθμους απο τους 20 κληρωθεντες υπολογιζεται ως εξης(θα δωθει ενας τροπος σκεψης παροτι υπαρχει και και ενας διαφορετικος):
-Το πληθος περιπτωσεων απο τους Χ αριθμους που επιλεξαμε, να πετυχουμε Υ απο τους 20 κληρωθεντες ειναι (Χ,Υ).
-Το πληθος περιπτωσεων απο 80-Χ αριθμους που δεν επιλεξαμε, να πετυχουμε τους υπολοιπους 20-Υ απο τους κληρωθεντες ειναι (80-Χ,20-Υ).
-Το πληθος περιπτωσεων απο 80 αριθμους να διαλεξουμε 20 ειναι (80,20).
•Ετσι η ζητουμενη πιθανοτητα ειναι: (Χ,Υ)·(80-Χ,20-Υ)/(80,20)

Ετσι λοιπον η πιθανοτητα να πετυχουμε 3 αριθμους παιζοντας 8 υπολογιζεται θετοντας Χ=8 και Υ=3 στον παραπανω τυπο.
Ετσι εχουμε (8,3)·(72,17)/(80,20) = 32769072/152565985 =~ 21,47 %

Ετσι λοιπον υπολογιζοντας ολες τις πιθανοτητες για καθε κατηγορια και την υποκατηγορια της εχουμε:












Οποτε πχ βλεπουμε οτι η πιθανοτητα για να πιασουμε 8 αριθμους παιζοντας 10 ειναι 0.0135%, ενω η πιθανοτητα για να πιασουμε 1 παιζοντας 2 αριθμους ειναι 38%, οπως και η πιθανοτητα να μην πιασουμε ουτε ενα αριθμο παιζοντας 7 ειναι 12.16%.
Με μπλε σημειωνονται οι πιθανοτητες οπου κερδιζουν, ενω με κοκκινο αυτες που δεν κερδιζουν(συντελεστης κερδους ισον με μηδεν).

Φυσικα η απαντηση στο ερωτημα, οτι αφου παιζοντας 2 νουμερα εχω 44 % πιθανοτητες να μην χασω τα λεφτα μου, γιατι να παιξω 8 που εχω μολις 10.2 %, ειναι φανερη, αφου ο συντελεστης κερδους στο 8 φτανει τις 15000 ενω στο 2 μονο το 5.

Απο τα παραπανω ειναι φανερο οτι παιζοντας 7 νουμερα εχουμε τις περισσοτερες πιθανοτητες να μην χασουμε τα λεφτα μας ενω παραλληλα αναζητουμε ικανοποιητικο συντελεστη κερδους.
Ακομη παιζοντας 2 νουμερα εχουμε τις περισσοτερες πιθανοτητες να μην χασουμε τα λεφτα μας χωρις βεβαια οι συντελεστες κερδους να ειναι σημαντικοι.

Αν ακομη επιθυμουμε ενα μεγαλο συντελεστη κερδους, πανω π.χ του 1000 τοτε η κατηγορια 6 ειναι καλυτερη αναμεσα στις 6 και 7, αφου οι πιθανοτητες επιτυχιας ειναι 0,013% εναντι 0,00245% της κατ. 7. Αλλα αυτο μονο αν θελουμε συντελεστη μεγαλυτερο του 1000!

Τωρα θα εξεταστει η γκανιοτα του υπο εξεταση παιχνιδιου.
Οριζουμε την ποσοτητα Μα για καθε κατηγορια "α" (α=1,2,3,...,12), η οποια ειναι το αθροισμα των γινομενων: της πιθανοτητας για επιτυχια ν αριθμων αν παιχτουν α νουμερα, επι τον αντιστοιχο συντελεστη κερδους για τους ν αριθμους, για ολους τους αριθμους ν της κατηγοριας α (ν=0,1,2,...,α).

Και ετσι υπολογιζουμε:















Και οριζουμε την γκανιοτα ενος παιχνιδιου:
Γκανιοτα ειναι το ποσοστιαιο (π.χ %) καθαρο κερδος αυτου που προσφερει το παιχνιδι(ΟΠΑΠ), επι των συνολικων στοιχηματων που δεχτηκε, οταν ο παιχτης παιξει απειρες φορες.
Αυτη ειναι η θεωρητικη γκανιοτα. Η πρακτικη/πραγματικη γκανιοτα ειναι απλα ο ιδιος ορισμος χωρις την εκφραση "οταν ο παικτης παιξει απειρες φορες".

Ετσι λοιπον εχουμε οτι:

Εστω ενας παιχτης που επαιξε απειρες φορες και στο τελος εχει κερδισει 786 Ευρω ενω εχει παιξει συνολικα 2.560 Ευρω. Τοτε τα 2560-786 = 1774 Ευρω πανε στον διοργανωτη του ΚΙΝΟ. Αρα εχουμε με την απλη μεθοδο των τριων οτι:








Αρα "Γκανιοτα" = 1774·100/2560 = 69

Δηλαδη ποσοστιαια εχουμε: Γκανιοτα = 69%


Εστω τωρα ενας παιχτης που παιζει Χ φορες απο ν Ευρω την φορα σε μια κατηγορια α(α=2,3...,10). Τοτε τα συνολικα χρηματα που παιχτηκαν ειναι: Χ·ν.
Ακομα τα καθαρα κερδη του διοργανωτη ειναι:
Χ·ν - ν·(Σαα·Ηαα(Χ)+Σα(α-1)·Ηα(α-1)(Χ)+...+Σα0·Ηα0(Χ))

-Οπου Ητβ(Χ) ειναι ο αριθμος των επιτυχιων της υποκατηγοριας β, τον οποιο ο παιχτης επιασε παιζοντας τ νουμερα(δηλαδη στην κατηγορια τ) Χ φορες και Στβ ειναι ο συντελεστης της κατηγοριας τ οταν ο παιχτης πιασει β νουμερα(με Στβ=0 οταν δεν εχουμε κερδος στη κατηγορια τ οταν πιασουμε β νουμερα).

Αρα εχουμε την αναλογια των ευθεως αναλογων ποσων:







Το Γ δεν ειναι η γκανιοτα.
Η γκανιοτα ειναι το οριο του Γ οταν Χ τεινει στο απειρο (Χ->inf) δια 100.
Αρα:

Lim{X->inf} (Γ) = Lim{X->inf} (100·(1-(Σαα·Ηαα(Χ)/Χ+Σα(α-1)·Ηα(α-1)(Χ)/Χ+...+Σα0·Ηα0(Χ)/Χ)))


Ομως ισχυει οτι το οριο Lim{X->inf} 100 = 100 και Lim{X->inf} (Ητβ(X)/Χ) = P(τ,β) για καθε καταλληλο τ,β.
-Με Ρ(τ,β) να ειναι η πιθανοτητα παιζοντας τ αριθμους να πιασουμε β. Δηλαδη το οριο αυτο ειναι ισο με την πιθανοτητα να πιασουμε β αριθμους παιζοντας τ.

•Ακομα ισχυει οτι Σαα·P(α,α)+Σα(α-1)·P(α,α-1)+...+Σα0·P(α,0) = Μα (λογω ορισμου του Μα).

Αρα λογω των παραπανω εχουμε οτι:
Lim{X->inf} Γ = 100(1- Μα)

Ετσι λοιπον η γκανιοτα οταν ενας παιχτης παιζει Χ φορες απο ν Ευρω την φορα σε μια κατηγορια α(α=1,2...,12) ειναι 100(1-Μα)/100 = (1-Μα)


Οποτε εστω ενας παιχτης παιζει:
Χ φορες απο ν Ευρω την φορα στην κατηγορια 1,
Χ φορες απο ν Ευρω την φορα στην κατηγορια 2,
..............................
..............................
Χ φορες απο ν Ευρω την φορα στην κατηγορια 12.

Τοτε:
Τα καθαρα κερδη για την κατηγορια 1 ειναι: Χ·ν·(1-Μ1)
Τα καθαρα κερδη για την κατηγορια 2 ειναι: Χ·ν·(1-Μ2)
....................................................
....................................................
Τα καθαρα κερδη για την κατηγορια 12 ειναι: Χ·ν·(1-Μ12)

Αρα τα συνολικα καθαρα κερδη παιζοντας σε ολες τις κατηγοριες ειναι:
Χ·ν·(12-(Μ1+Μ2+...+Μ12))

Οποτε εφαρμοζοντας παλι την γνωστη μεθοδο των τριων και εχοντας σαν δεδομενο οτι τα συνολικα χρηματα που εχουν παιχτει ειναι 12·Χ·ν εχουμε οτι η γκανιοτα ειναι:

100·(1-(Μ1+Μ2+...+Μ12)/12)/100 = (1-8,25/12) = 31,23 %

Αρα η γκανιοτα στο ΚΙΝΟ του ΟΠΑΠ ειναι 31,23%.


Αυτο σημαινει πως σε καθε κληρωση το 31.23% των χρηματων που παιχτηκαν πανε στον ΟΠΑΠ. Φυσικα αυτο ειναι το θεωρητικα προβλεπομενο ποσοστο που ισχυει αν εχουμε απειρες στηλες που παιχτηκαν. Αλλα και η τιμη αυτη επαληθευεται με μεγαλη ακριβεια με αυτο που στην πραγματικοτητα συμβαινει με τις πεπερασμενο πληθος στηλων που παιζονται. Και αυτο γιατι το πληθος στηλων που παιζονται ειναι μεγαλο.
Δηλαδη οσο πιο μεγαλο πληθος στηλων παιζονται τοσο και η τιμη της γκανιοτας πλησιαζει την θεωρητικη τιμη 31.23% και τοσο το στατιστικο λαθος μικραινει. Για το πληθος των στηλων που παιζονται στην πραγματικοτητα το λαθος πιθανον βρισκεται στο 2ο δεκαδικο ψηφιο δηλαδη η πραγματικη τιμη της γκανιοτας βρισκεται στο διαστημα (31.22 - 31.24)%.

(Πρεπει να σημειωθει οτι για λογους απλοτητας δεν χρησιμοποιηθηκε για το τελευταιο βημα μια αυστηρα μαθηματικη διαδικασια παρα μονο μια απλουστευμενη για λογους κατανοησης.)


Βλέπετε λοιπόν και μαθηματικά ότι το 68.77% των χρημάτων που παίζονται καταλήγουν πίσω στους πελάτες. Δνε υπάρχει κάτι το στημένο, το μαφιόζικο κλπ. Και αν δεν πιστεύετε μπορείτε να ζητήσετε από οποιονδήποτε πράκτορα να σας βγάλει τα τελευταία 3 ή 4 εκκαθαριστικά του για να δείτε πόσα παικτήκαν στο συγκεκριμένο πρακτορείο και πόσα δοθήκαν πίσω. Αν δεν πιστεύετε ακόμα και μετά από αυτό τότε κάντε το ίδιο σε πολλά πρακτορεία και βγάλτε ένα τελικό σύνολο.



Θα υπολογιστει εδω και η γκανιοτα(γκανιοτα·100) καθε ξεχωριστης κατηγοριας.
Ετσι λοιπον(το SUM δινει την συνολικη πιθανοτητα καθε κατηγοριας για να κερδισουμε κατι):




Ετσι λοιπον βλεπουμε οτι η πιο ασυμφορη (για εμας φυσικα) κατηγορια να παιξουμε ειναι αυτη τους ενος αριθμου. Ενω οι 2 πιο συμφερουσες ειναι η 5 και η 7.

Οποτε ας παιζουμε 5 ή 7 για να δινουμε στον ΟΠΑΠ οσο το δυνατον λιγοτερα κερδη! Για το λογο οτι ετσι εχουμε περισσοτερες πιθανοτητες να βγουμε κερδισμενοι......
Βεβαιως αυτο δεν πρεπει να παρερμηνευθει αφου ειναι σιγουρο οτι αν παιξουμε παρα πολλες φορες στην κατηγορια των 7 π.χ, τοτε θα χασουμε το 30,04% των χρηματων που στοιχηματισαμε!

Βεβαιως μπορουμε επειτα απο ενα καλο κερδος να σταματησουμε να παιζουμε και ετσι να βγουμε κερδισμενοι τελικα.....

Και για λογους συγκρισης θα συγκρινουμε τις πιθανοτητες για να πιασουμε 12αρι στο ΚΙΝΟ με τις πιθανοτητες να πιασουμε "5+1" στο ΤΖΟΚΕΡ και με το να πιασουμε 6αρι στο ΛΟΤΤΟ.

•Στο ΚΙΝΟ οπως ειπαμε η πιθανοτητα για 12αρι ειναι:
0.00000021% ή αλλιως 1 στα 478 261 833
•Στο ΤΖΟΚΕΡ η πιθανοτητα για "5+1" ειναι:
(1/20)·(1/(45,5)) δηλαδη:
0.0000041% ή αλλιως 1 στα 24 435 180
•Στο ΛΟΤΤΟ η πιθανοτητα για 6αρι ειναι:
(1/(49,6)) δηλαδη:
0.0000072% ή αλλιως 1 στα 13 983 816 


Οπως βλεπουμε στο ΚΙΝΟ το να πιασουμε 12αρι ειναι τραγικα δυσκολο περιπου 20 φορες πιο σπανιο/δυσκολο απο το να πιασουμε "5+1" στο ΤΖΟΚΕΡ.

Και μαλιστα τα λεφτα στο ΚΙΝΟ πιανοντας 12αρι και παιζοντας μια απλη στηλη των 0.5 € ειναι 500000 € (βαζοντας 1 ευρω και πιανοντας 12αρι τα κερδη ειναι 1 εκατομμυριο ευρω).
Αντιθετα στο ΤΖΟΚΕΡ τα λεφτα κυμαινονται περιπου στα 500000 € με 1 500 000 € ή ακομη και 2-3 εκατομμυρια ευρω με τα τζακ-ποτ. Εχουμε δηλαδη 20 φορες μεγαλυτερες πιθανοτητες παιζοντας ΤΖΟΚΕΡ να κερδισουμε πολυ περισσοτερα χρηματα απο οτι αν παιξουμε ΚΙΝΟ. Οποτε το ΤΖΟΚΕΡ ενδεικνυται ΔΙΑ ΡΟΠΑΛΟΥ σε παικτες που αναζητουν μεγαλα κερδη. Με μία διαφορά όμως. Οι κληρώσεις του ΚΙΝΟ είναι εκατοντάδες την ημέρα. Αν το 12αρι έδινε πόσο ανάλογα με τις πιθανότητες του τότε με τόσες κληρώσεις την ημέρα υπάρχει ενδεχόμενο να γίνει ασύμφορο για τον ίδιο τον Ο.Π.Α.Π. Ποιος λοιπόν πουλά προιόν κάτω από την τιμή του κόστους;;;;;


Με το ΛΟΤΤΟ τα πραγματα ειναι περιπου τα ιδια με τον ΤΖΟΚΕΡ αν και στο ΛΟΤΤΟ εχουμε περισσοτερες πιθανοτητες απο το ΤΖΟΚΕΡ οπως φαινεται πιο πανω.


Συνοπτικός πίνακας κερδών και πιθανοτήτων.

























Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...